从力矩性能来看，行波型、驻波型和柱状超声波电机的输出力矩较大，而板状超声波电机的输出力矩相对较小，但其制作工艺相对简单；从寿命和可靠性角度分析，除行波型超声波电机为局部面接触外，其他3种电机以点或线接触为主，寿命相对较短。行波型和棒状多自由度超声波电机已经成功应用于腹腔手术、假肢上的肩腕和膝关节等。多自由度行波型超声波电机的应用前景最好，这主要是由于其制造技术比较成熟，可以结合空间技术的需求，开发空间机器人、月球车等各种空间探测器需要的多自由度驱动机构。
　　　　1三自由度行波型超声波电机

　　三自由度行波型超声波电机的驱动机理所示。电机由3个行波定子和1个球转子组成，行波定子与球转子通过一个圆周接触（称为接触圆周） .

　　由于各个行波定子对球转子的驱动角速度是可变的，且各个行波定子的角速度的方向不共面，这样合成的球转子角速度显然是空间变化的，其运动方向是全方位的，具有3个自由度。三自由度行波型超声波电机的驱动机理十分复杂，原因在于： 1） 3个行波定子呈空间轴回转对称分布（各120 ） ，其关系十分复杂； 2）定转子接触是行波高频局部动态接触（接触点沿着接触圆周运动） ，且接触力大小与接触点的位置有关，是动态变化的； 3）定转子接触圆周上的每点不仅有摩擦驱动（矩） ，而且有摩擦阻力（矩） ，驱动力（矩）和阻力（矩）的大小、方向取决于球转子的运动方向，这说明3个行波定子的驱动效果是相互耦合的。

　　2电机定转子位姿基本关系

　　由于三自由度行波型超声波电机由3个定子组成，其定子在空间呈轴回转对称分布，当计算电机的驱动力矩和摩擦力矩时，需要将在各个定子坐标系下表示的坐标转换为在基本坐标系0（ OX YZ）下表示的坐标，这样便于最后结果的统一处理。

　　2. 1坐标变换

　　如所示，设球转子的半径为R， 3个行波定子大小相同，半径均为r，即定子与球转子的接触圆周半径为r.设基本坐标系0的原点在转子球心O点， Z轴对3个定子回转对称， 3个定子坐标系为1、2和3，表示定子1轴线与基本坐标系0中Z轴的夹角。定子1坐标系1（Ox 1 y 1 z 1）的建立过程如下：在固定坐标系0中，使坐标系0绕Y轴旋转（ - 90 ），以使X轴与定子轴线重合，即X轴和x 1轴重合，而Y轴和y 1轴重合。

　　2. 2定转子接触点的位置关系

　　设在XOZ轴平面上（包含x 1轴） ，定子1与转子接触圆周S的某个交点为A （称为上交点）。定转子接触圆周S的圆心为o 1，连接o 1 A.设定子中心与定子接触圆周S上任意一点P的连线与o 1 A的夹角为（图示方向为正）， OA与o 1 A的夹角为。在定子1坐标系1下，定子1接触圆周S上任一接触点P的位置为P 1 = R< sin ， - cos sin ， cos cos > T。 （ 4）则在基本坐标系0下P的位置为P= A 01 P 1 = R sin sin - cos cos cos - cos sin cos sin + sin cos cos。 （ 5）定子接触圆周一部分在转子的上半部分，一部分在下半部分，其分界点B满足z = 0，即该点的位置用1表示为cos 1 = - tan ctan .

　　（ 6）

　　3定转子接触时的静力学分析

　　如前所述，球电机的定转子相互压紧。行波定子的材料一般采用锡青铜，球转子表面采用耐磨的高分子材料，其硬度相对定子的锡青铜较软。可设当压紧时形变发生在球转子上，定子不产生变形。设行波定子开始接触（球转子未发生形变）至压紧时在轴向的微动量为i（ i= 1， 2， 3），相应的轴向预紧力为F ci（i= 1， 2， 3）（指每个定子）。如果各个定子的预紧力大小不等，不仅在定转子接触圆周上球转子会产生形变，而且球转子的球心可能产生微位移，这样可以保证球转子受到3个行波定子预紧力后保持力平衡。

　　对定子1来说，由于定子沿轴向微位移1的影响，定转子接触圆周上的微位移为R 1 = 1 x 1。

　　（ 7）式中： x 1为x 1轴的单位向量。由于球转子微移动，其球心微位移为R 2 = < x， y， z> T。

　　（ 8）式中： x、y、z分别为定子沿坐标轴X、Y、Z方向的微位移。这样，定转子接触圆周上的转子形变量由2部分组成，一部分定转子接触点的压紧量来自定子轴向移动产生的压紧量，另一部分来自转子球心微移动产生的压紧量。因此，定转子接触圆周上的转子形变量为1 = （ R 1 + R 2）T n 1 = 1 sin + x（ sin sin - cos cos cos ）- ycos sin + z（cos sin + sin cos cos ）。 （9）式中： n 1为球心至接触点P的法向单位向量，方向为从球心向外。

　　n 1 = P | P| = sin sin - cos cos cos - cos sin cos sin + sin cos cos。

　　同理，可以得到定子2和3接触圆周上的法向单位向量为n 2 = 1 2（ - sin sin + 3cos sin + cos cos cos ）1 2（ 3sin sin + cos sin - 3cos cos cos ）cos sin + sin cos cos，n 3 = 1 2（- sin sin - 3cos sin + cos cos cos ）1 2（- 3sin sin + cos sin + 3cos cos cos ）cos sin + sin cos cos。

　　定子2和3的接触圆周上的球转子形变量可以根据上述方法确定。

　　为提高电机的摩擦力，在球转子表面有一层摩擦材料，一般是高分子材料。设摩擦材料的弹性模量为E f，摩擦材料的厚度为h f，摩擦材料在接触圆周上的宽度为d f，则接触圆周上径向的等效刚度为k f = E f d f h f。

　　这样，定转子接触圆周上任一点的正压力为N i = k f i； i= 1， 2， 3.

　　（10）对球转子而言， N i的方向是从接触点指向球心的。

　　当转子处于静止状态时，球转子除受到定子的正压力外，还受到静态摩擦力的作用，其方向为沿着转子切线方向向下。 3个行波定子在各个方向的合力应该为0（不计球转子自身重力影响） ，即3 i= 1（2 0 - rN i n i d + 1 0 2r f N i t i d ） = 0；i = 1， 2， 3.

　　（11）式中： n i为在第i个定子坐标系由转子球心指向定转子任一接触点的单位向量， t i为从接触点切于球面向下而且过Z轴平面的单位向量，f为静态摩擦系数。式（11）左边第二项为摩擦力，只在球转子上半部才存在，其积分范围为0 1。

　　当转子处于静止状态时，分析各定子的轴向受力情况，沿x i轴方向的合力也应该为0.这里为方便起见，不计行波定子轴的轴向摩擦力。

　　4仿真分析

　　由超声波球电机的受力分析可知，接触形变量不仅与转子材料有关，还与定转子大小以及等有关；而输出力矩与电机定转子大小和等有关。为此选择一组参数进行分析： R = 22. 5 mm， E f = 200 MPa， h f = 0. 2 mm， d f = 2 mm，f = 0. 15.

　　4. 1球转子形变量与定子结构和压紧力的关系

　　可以看出，在< 0， 2 >范围内，定子3接触圆周上3有很大一部分为0.也就是说，在定子3与转子接触圆周上在很大一部分两者是不相互接触的，当某一定子的压紧力比其他定子小时，它与转子圆周会有一部分是不相互接触的。在其他条件不变的情况下，当定子3的压紧力F c3 = 20 N时，在定转子接触圆周子形变量的变化趋势（ b）所示。此时3只有一部分为0.由此可见，当3个定子的压紧力不对称时，在定转子接触圆周上定子与转子有可能出现不相互接触的情形。因此在对电机施加压紧力时，要使它们的大小相等，这样才能使电机的性能得到充分发挥。

　　在F c1 = F c2 = 40 N， F c3 = 10 N， = 100的情况下，在定转子接触圆周上转子形变量的变化趋势。可以看出，在其他条件不变的情况下，减小，在定转子接触圆周上定子与转子不相互接触的区域变大，并且转子形变量变小。

　　在F c1 = F c2 = 40 N， F c3 = 10 N， r= 13 mm的情况下，在定转子接触圆周上转子形变量的变化趋势（b）所示。可以看出，在其他条件不变的情况下，减小定子半径，在定转子接触圆周上定子与转子不相互接触的区域变小。因此要提高电机性能，同时便于设计制造，需要综合考虑压紧力、、定子半径等因素。在设计时，一般取= 120 ， F c1 = F c2 = F c3 = 40 N， r= 15 mm.由于、定子半径等因素在电机制造时就已经确定，在电机调试时只能对压紧力进行调整，使其达到性能要求。

　　4. 2球转子球心的微位移

　　根据式（16）计算，可以得到x、y、z的变化范围是六面体，如所示。这表明，当压紧力在上述范围内，其球转子球心的微动范围可在这六面体内任一点。

　　5结语

　　本文从三自由度超声波球电机的原理和结构出发，根据坐标变换关系，并结合转子受力的力平衡方程，给出了各行波定子预紧力与球转子球心的微位移和定转子接触面转子形变量及其力分布关系式，从而可以得到在不同条件下形变量的变化趋势以及对预紧力和半径等外部条件的要求，为进一步分析三自由度行波超声波球电机运动时的数学模型建立了基础，也为此电机的设计、制造和调试提供了理论基础。